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傅里叶烟气分析(傅里叶烟气分析仪 量热仪)

承天示优官方账号 2022-11-02 资讯 967 views 0

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本文目录一览:

傅里叶解析

傅立叶变换

定义

f(t)满足傅立叶积分定理条件时,下图①式的积分运算称为f(t)的傅立叶变换,②式的积分运算叫做F(ω)的傅立叶逆变换。F(ω)叫做f(t)的象函数,f(t)叫做F(ω)的象原函数。 应用

傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用(例如在信号处理中,傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量)。

概要介绍

* 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦和/或余弦函数)或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域,傅里叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的(参见:林家翘、西格尔著《自然科学中确定性问题的应用数学》,科学出版社,北京。原版书名为 C. C. Lin L. A. Segel, Mathematics Applied to Deterministic Problems in the Natural Sciences, Macmillan Inc., New York, 1974)。

* 傅里叶变换属于谐波分析。

* 傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;

* 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;

* 卷积定理指出:傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;

* 离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅里叶变换算法(FFT)).

基本性质

线性性质

两函数之和的傅里叶变换等于各自变换之和。数学描述是:若函数f \left( x\right )和g \left(x \right)的傅里叶变换\mathcal[f]和\mathcal[g]都存在,α 和 β 为任意常系数,则\mathcal[\alpha f+\beta g]=\alpha\mathcal[f]+\beta\mathcal[g];傅里叶变换算符\mathcal可经归一化成为么正算符;

频移性质

若函数f \left( x\right )存在傅里叶变换,则对任意实数 ω0,函数f(x) e^{i \omega_ x}也存在傅里叶变换,且有\mathcal[f(x)e^{i \omega_ x}]=F(\omega + \omega _0 ) 。式中花体\mathcal是傅里叶变换的作用算子,平体F表示变换的结果(复函数),e 为自然对数的底,i 为虚数单位\sqrt;

微分关系

若函数f \left( x\right )当|x|\rightarrow\infty时的极限为0,而其导函数f'(x)的傅里叶变换存在,则有\mathcal[f'(x)]=-i \omega \mathcal[f(x)] ,即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子 �6�1 iω 。更一般地,若f(\pm\infty)=f'(\pm\infty)=\ldots=f^{(k-1)}(\pm\infty)=0,且\mathcal[f^{(k)}(x)]存在,则\mathcal[f^{(k)}(x)]=(-i \omega)^ \mathcal[f] ,即 k 阶导数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子( �6�1 iω)k。

卷积特性

若函数f \left( x\right )及g \left( x\right )都在(-\infty,+\infty)上绝对可积,则卷积函数f*g=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x-\xi)g(\xi)d\xi的傅里叶变换存在,且\mathcal[f*g]=\mathcal[f]\cdot\mathcal[g] 。卷积性质的逆形式为\mathcal^[F(\omega)G(\omega)]=\mathcal^[F(\omega)]*\mathcal^[G(\omega)] ,即两个函数乘积的傅里叶逆变换等于它们各自的傅里叶逆变换的卷积。

Parseval定理

若函数f \left( x\right )可积且平方可积,则\int_{-\infty}^{+\infty} f^2 (x)dx = \frac{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} |F(\omega)|^d\omega 。其中 F(ω) 是 f(x) 的傅里叶变换。

傅里叶变换的不同变种

连续傅里叶变换

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一般情况下,若“傅立叶变换”一词的前面未加任何限定语,则指的是“连续傅里叶变换”。“连续傅里叶变换”将平方可积的函数f(t) 表示成复指数函数的积分或级数形式。

f(t) = \mathcal^[F(\omega)] = \frac{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty F(\omega) e^{i\omega t}\,d\omega.

上式其实表示的是连续傅里叶变换的逆变换,即将时间域的函数f(t)表示为频率域的函数F(ω)的积分。反过来,其正变换恰好是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f(t)的积分形式。一般可称函数f(t)为原函数,而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数,原函数和像函数构成一个傅立叶变换对(transform pair)。

一种对连续傅里叶变换的推广称为分数傅里叶变换(Fractional Fourier Transform)。

当f(t)为奇函数(或偶函数)时,其余弦(或正弦)分量将消亡,而可以称这时的变换为余弦转换(cosine transform) 或 正弦转换(sine transform).

另一个值得注意的性质是,当f(t) 为纯实函数时,F(�6�1ω) = F(ω)*成立.

傅里叶级数

主条目:傅里叶级数

连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数的推广,因为积分其实是一种极限形式的求和算子而已。对于周期函数,其傅里叶级数是存在的:

f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n \,e^ ,

其中Fn 为复振幅。对于实值函数,函数的傅里叶级数可以写成:

f(x) = \fraca_0 + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right],

其中an和bn是实频率分量的振幅。

离散时间傅里叶变换

主条目:离散时间傅里叶变换

离散傅里叶变换是离散时间傅里叶变换(DTFT)的特例(有时作为后者的近似)。DTFT在时域上离散,在频域上则是周期的。DTFT可以被看作是傅里叶级数的逆。

傅里叶变换的意义和理解是什么?

傅里叶变换的意义和理解:

一、意义:

从现代数学的眼光来看,傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域,傅里叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。

在数学领域,尽管最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具,但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解,都能够表示为正弦函数的线性组合的形式,而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类。

正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。

二、理解:

傅里叶原理表明:任何连续测量的时序或信号,都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅里叶变换算法利用直接测量到的原始信号,以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。

傅里叶变换的相关说明:

1、图像经过二维傅里叶变换后,其变换系数矩阵表明:

若变换矩阵Fn原点设在中心,其频谱能量集中分布在变换系数短阵的中心附近(图中阴影区)。若所用的二维傅里叶变换矩阵Fn的原点设在左上角,那么图像信号能量将集中在系数矩阵的四个角上。这是由二维傅里叶变换本身性质决定的。同时也表明一股图像能量集中低频区域。

2 、变换之后的图像在原点平移之前四角是低频,最亮,平移之后中间部分是低频,最亮,亮度大说明低频的能量大(幅角比较大)。

以上内容参考:百度百科-傅里叶变换

傅立叶分析

傅里叶变换的基本思想首先由法国学者傅里叶系统提出,所以以其名字来命名以示纪念。

从现代数学的眼光来看,傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域,傅里叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。

傅立叶变换属于调和分析的内容。"分析"二字,可以解释为深入的研究。从字面上来看,"分析"二字,实际就是"条分缕析"而已。它通过对函数的"条分缕析"来达到对复杂函数的深入理解和研究。从哲学上看,"分析主义"和"还原主义",就是要通过对事物内部适当的分析达到增进对其本质理解的目的。比如近代原子论试图把世界上所有物质的本源分析为原子,而原子不过数百种而已,相对物质世界的无限丰富,这种分析和分类无疑为认识事物的各种性质提供了很好的手段。

在数学领域,也是这样,尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具,但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解,都能够表示为正弦函数的线性组合的形式,而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类,这一想法跟化学上的原子论想法何其相似!

奇妙的是,现代数学发现傅立叶变换具有非常好的性质,使得它如此的好用而有用,让人不得不感叹造物的神奇:

1. 傅立叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子;

2. 傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;

3. 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;

4. 著名的卷积定理指出:傅立叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;

5. 离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT)).

正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用

傅里叶分析在电力系统的应用有哪些?能举例子吗?

一个主要的应用就是电力系统之中谐波分析。

传统的谐波分析理论基础是傅里叶分析,随着计算机、微处理器的广泛应用,数字技术在这一领域越来越多地被采用出现了离散采样的傅里叶变换(DFT),电力系统的谐波分析目前大多是通过该方法实现的。

电力系统谐波测试:

基于傅里叶变换的谐波测量。基于傅里叶变换的谐波测量是当今应用最多也是最广泛的一种方法。使用此方法测量谐波精度较高功能较多使用方便。

其缺点是需要一定时间的电流值,且需进行两次变换计算量大计算时间长,从而使得检测时间较长检测结果实时性较差。

而且在采样过程中当信号频率和采样频率不一致时使用该方法会产生频谱泄漏效应和栅栏效应使计算出的信号参数即频率、幅值和相位)不准确尤其是相位的误差很大无法满足测量精度的要求因此必须对算法进行改进加快测量数度。

扩展资料:

基于DFT的谐波分析原理就是把时域信号变换到频域相当于使数据样本通过一个梳状滤波器各滤波器的中心频率恰好是各次谐波的中心点理论上只要满足这一条件就能保证各次谐波的准确测量。

电力系统中的电压与电流为周期函数且满足荻里赫利条件,因此可将电压和电流分解为傅里叶级数形式,从而可以求出基波分量以及各次谐波分量。

傅里叶分析的发展概况

傅里叶分析从诞生之日起,就围绕着“傅里叶级数究竟是否收敛于自身”这样一个中心问题进行研究。当傅里叶提出函数可用级数表示时,他的想法还没有得到严格的数学论证,实际的情形人们并不清楚。P.G.L.狄利克雷是历史上第一个给出函数(x)的傅里叶级数收敛于它自身的充分条件的数学家。他的收敛判别法,后称为狄利克雷-若尔当判别法。他证明了在一个周期上分段单调的周期函数的傅里叶级数,在它的连续点上必收敛于(x);如果在x点不连续,则级数的和是((x+0)+(x-0))/2。顺便指出,狄利克雷正是在研究傅里叶级数收敛问题的过程中,才提出了函数的正确概念。因为在他的判别法中,函数在一个周期内的分段单调性,可能导致该函数在不同区间上的不同解析表示,这自然应当把它们看做同一个函数的不同组成部分,而不是像当时人们所理解的那样,认为一个解析表达式就是一个函数。

(G.F.)B.黎曼对傅里叶级数的研究也作出了贡献。上面说过,确定的傅里叶系数,要用到积分式⑶。但是人们当时对积分的理解还不深入。黎曼在题为《用三角级数来表示函数》(1854)的论文中,为了使得更广一类函数可以用傅里叶级数来表示,第一次明确地引进并研究了现在称之为黎曼积分的概念及其性质,使得积分这个分析学中的重要概念,有了坚实的理论基础。他证明了如果周期函数(x)在[0,2π]上有界且可积,则当n趋于无穷时 的傅里叶系数趋于0。此外,黎曼还指出,有界可积函数的傅里叶级数在一点处的收敛性,仅仅依赖于(x)在该点近旁的性质。这个非常基本而重要的结果称之为局部性原理。

G.G.斯托克斯和P.L.von赛德尔引进了函数项级数一致收敛性的概念以后,傅里叶级数的收敛问题进一步受到了人们的注意。H.E.海涅在1870年的一篇论文中指出,有界函数(x)可以唯一地表示为三角级数这一结论,通常采用的论证方法是不完备的,因为傅里叶级数未必一致收敛,从而无法确保逐项积分的合理性。这样,就可能存在不一致收敛的三角级数,而它确实表示一个函数。这就促使G.(F.P.)康托尔研究函数用三角级数表示是否唯一的问题。这种唯一性问题的研究,又促进了对各种点集结构的探讨。G.康托尔第一次引进了点集的极限点以及导集等概念,为近代点集论的诞生奠定了基础。

K.(T.W.)外尔斯特拉斯在1861年首次利用三角级数构造了处处不可求导的连续函数。他的这一发现震动了当时的数学界,因为长期的直观感觉使人们误认为,连续函数只有在少数一些点上才不可求导。

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